Grafik

MODUL III

GRAFIK

Tujuan Khusus Praktikum  Mahasiswa dapat menjalankan fungsi-fungsi Maple untuk menyelesaikan masalah visualisasi

 

A.    Fungsi

Untuk  membedakan  fungsi  dengan  ekspresi,    Maple  memerlukan  notasi  khusus  untuk mendefinisikan sebuah fungsi. Maple menyediakan beberapa cara untuk mendefinisikan fungsi. Salah satu cara adalah menggunakan notasi anak panah (->), yang menyerupai notasi fungsi atau pemetaan dalam matematika. Perintah  unapply dapat digunakan untuk mengubah suatu ekspresi menjadi fungsi.

Misalnya untuk mendefinisikan fungsi  pada  Maple digunakan perintah:

  > f:= x -> cos(Pi*x)+3;

Perhatikan cara menuliskannya dengan  menggunakan notasi "->" untuk mendefinisikan   fungsi x -> f(x). Maple tidak akan   mendefinisikan fungsi jika Anda menuliskan   f(x):=cos(Pi*x)+3 ; Untuk   menghitung   nilai   fungsi,   cara   yang  digunakan   persis   sama   dengan   cara   dalam matematika. Maple akan menghasilkan nilai simbolik (eksak).

> f(2);

  > f(a+b);

Bandingkan ekspresi dan fungsi di bawah ini.

B.     Menggambar grafik Fungsi

Diberikan suatu fungsi , apabila fungsi tersebut akan dibuat dibuat grafiknya menggunakan Maple, maka sintaks perintahnya adalah:

> plot(f(x), x=a..b , option1, option2, ...);

dengan x=a..b adalah batas nilai x untuk grafik yang akan dibuat pada selang [a,b]. Sedangkan option adalah properti asesoris grafik. Option ini bersifat optional (tidak harus dituliskan).

Apabila diinginkan untuk ditambahkan option pada perintah plot, maka berikut ini beberapa perintah yang dapat dituliskan.

1.      color=warna

Perintah ini digunakan untuk memberi warna grafik. Beberapa warna yang dapat dipilih antara lain

Aquamarine     black                blue                 navy    coral    cyan 

brown              gold                 green               gray     grey     khaki

magenta           maroon            orange             pink     plum    red  

sienna              tan                   turquoise         violet   
                       wheat              white                yellow                       

Sebagai contoh misalkan suatu grafik diberi warna merah muda, maka dapat ditambahkan perintah

            Color = pink

2.      filled=true,false

Option ini untuk memberi warna pada daerah antara kurva dengan sumbu x. Nilai n dapat diberi true atau false. Apabila n bernilai true maka daerah antara kurva dengan sumbu x diberi warna, sedangkan apabila bernilai false maka daerah tersebut tidak diberi warna

3.      labels=[string1, string2]

Perintah ini digunakan untuk memberi nama label pada sumbu x dan y. String1 dan string 2 pada perintah tersebut dapat diganti dengan suatu kata  (diapit dengan dengan tanda petik dua (“). Misalnya untuk nama sumbu x nya diganti dengan ‘nilai x’ dan sumbu y nya diganti dengan ‘nilai y’, maka perintahnya

             labels=[“nilai x”,”nilai y”]

4.      legend=string

Suatu grafik dapat diberi keterangan berupa legenda untuk menjelaskan makna grafik tersebut. String pada perintah tersebut diganti dengan keterangan yang menjelaskan makna suatu grafik.

Sebagai contoh misalkan diberikan suatu grafik fungsi sinus selanjutnya akan dibuat keterangan legenda pada grafik tersebut, maka dapat ditambahkan perintah legend = “Grafik sinus”

5.      line style=jenis garis

Perintah linestyle digunakan untuk memilih bentuk garis yang membentuk kurva grafik. Beberapa pilihan bentuk garis yang dapat digunakan antara lain:

1.    SOLID (berbentuk garisnya utuh)

2.    DOT (berbentuk titik-titik)

3.    DASH (berbentuk garis putus-putus)

4.    DASHDOT (berbentuk gabungan garis putus-putus dan   titik)

6.      style

Perintah ini digunakan untuk mengatur tampilan grafik apakah disajikan dalam bentuk titik-titik terhubung ataukah tidak terhubung. Simbol s dapat diganti dengan LINE untuk mendapatkan grafik dengan titik terhubung, atau POINT untuk grafik dengan titik tidak terhubung.

            Secara default, style dalam Maple adalah LINE.

7.      symbol=jenis simbol

Option ini digunakan untuk menentukan bentuk titik pada suatu grafik. Option ini akan terlihat efeknya apabila grafik fungsinya dibuat dari sekumpulan titik-titik yang tidak kontinyu.

Beberapa jenis simbol yang dapat dipilih antara lain BOX, CROSS, CIRCLE, POINT, and DIAMOND.

8.      title=string

Perintah title digunakan untuk memberi judul grafik yang akan tampak di bagian atas grafik, dengan string adalah judul yang ingin dituliskan dalam bentuk string.

9.      thickness=n

Tingkat ketebalan garis suatu grafik fungsi dapat ditentukan dengan option ini. Nilai n dapat diisi dengan bilangan antara 0 s/d 15. Semakin besar nilai n, maka semakin tebal garisnya.

10.  view = [xmin..xmax, ymin..ymax]

Perintah view dapat digunakan untuk mengatur koordinat-koordinat maksimum dan minimum yang ditampilkan pada grafik. Nilai-nilai xmin, xmax, ymin dan ymax diganti dengan nilai-nilai yang diinginkan.

Beberapa contoh grafik menggunakan maple.

Contoh 3.3. Definisikan fungsi f(x)= 2x-|x²-5| kemudian jawab pertanyaan-pertanyaan di bawah ini.

a)   Hitung nilai f(6.5)

b)  Sederhanakan f(z-4) dengan z adalah suatu variabel.

c)   Plot grafik fungsi f(x)

d)  Carilah semua nilai x yang memenuhi f(x)=0.

Jawaban

> f:=x->2*x-abs(x^2-5);

> f(6.5);

> simplify(f(z-4));

> plot(f(x),x);                                                                                                                     

> fsolve(f(x)=0,x=0..2);

> fsolve(f(x)=0,x=3..4);

A.    Fungsi Implisit

Bentuk-bentuk fungsi yang telah dipelajari sampai saat ini dinyatakan dalam satu variabel secara eksplisit dalam bentuk . Namun beberapa fungsi didefinisikan secara implisit oleh suatu kaitan antara x dan y. Sebagai contoh adalah fungsi berbentuk  atau . Dalam beberapa kasus dimungkinkan fungsi-fungsi implisit tersebut dapat dipecah menjadi sebuah atau beberapa fungsi eksplisit. Misalnya fungsi implisit berbentuk  dapat dipecah menjadi 2 buah fungsi eksplisit dalam x, yaitu y= dan y= .

Apabila grafik fungsi implisit  digambar grafiknya, maka akan diperoleh grafik berbentuk lingkaran, karena setengah lingkaran atas berasal dari grafik y = dan setengah yang bawah berasal dari y = .

Grafik fungsi implisit sebenarnya dapat dibuat dengan perintah plot. Akan tetapi harus terlebih dahulu diuraikan dan dinyatakan dalam fungsi eksplisit dalam x, seperti halnya fungsi yang menghasilkan lingkaran di atas. Tentu saja hal ini akan membutuhkan banyak waktu. Untuk memudahkan hal tersebut, Maple menyediakan function khusus untuk menggambar grafik fungsi-fungsi implisit. Sintaksnya adalah

> with(plots):

> implicitplot(fungsi,x=a..b,y=m..n);

Perintah implicitplot menggunakan paket plots. Nilai-nilai a, b, m, dan n merupakan batas-batas untuk nilai x dan y untuk fungsi yang akan digambar.

Latihan 3.

1. Buatlah grafik fungsi pada [-5,10] serta grafik untuk f(x+1), f(x-3) dan f(x-6)!
2. Definisikan fungsi g(x)= 5 e^(-5x)) dan h(x)=x+1 kemudian kerjakan :

a.       Plot grafik kedua fungsi dalam sebuah sistem koordinati. Lakukan eksperimen dengan nilai- nilai domain dan jangkauan yang berbeda.

b.      Estimasikan koordinat titik potong kedua kurva dengan mengklik tombol mouse kiri.

c.       Gunakan  perintah  fsolve(  )  untuk  menyelesaikan  persamaan g(x)=h(x).  Bagaimanakah hubungan penyelesaian persamaan terakhir dengan jawaban Anda pada (b).

3. Definisikan fungsi k(x)=x+3sin(2x), kemudian lakukan :

a.       Plot grafik fungsi ini pada interval [-1, 8].

b.      Ubah grafik pada (a) dengan memasukkan kurva y=4. Gunakan untuk mengestimasi nilai-nilai x yang memenuhi k(x)=4.

c.       Sebutkan fungsi yang grafiknya memberikan informasi sama dengan (b)

d.      Gunakah perintah fsolve( ) untuk menghitung hampiran penyelesaian k(x)=4.

4. Dalam soal ini akan ditinjau fungsi dalam bentuk , dengan n bilangan positif.

a.       Gambarkan grafik fungsi  dan  pada bidang yang sama, dengan batas grafik untuk x dan y masing-masing adalah [-3,3] dan [-3,3].

b.      Gambarkan grafik fungsi  dan  pada bidang yang sama, dengan batas grafik untuk x dan y masing-masing adalah [-3,3] dan [-3,3].

c.       Gambarkan semua grafik pada (a) dan (b) pada satu bidang yang sama, dengan batas grafik x dan y masing-masing [-1,3] dan [-1,3].

d.      Apa kesimpulan yang dapat diambil dari grafik-grafik tersebut?

lihat versi pdf