Integral

MODUL VI

INTEGRAL

Mahasiswa dapat menjalankan fungsi-fungsi Maple untuk menyelesaikan masalah integrasi.

Tujuan Khusus Praktikum

 

A.       Integral Tak Tentu

Integral tak tentu dari suatu fungsi merupakan kebalikan dari turunan/derivatif sehingga integral tak tentu ini juga disebut anti derivatif. Misalkan F(x) adalah suatu fungsi dan f(x) merupakan derivatif dari F(x) tersebut, maka integral tak tentu dari f(x) dinotasikan sebagai

Maple juga menyediakan perintah untuk mencari integral tak tentu ini. Perintahnya mirip dengan pencarian integral tentu. Misalkan akan dicari integral f(x) terhadap x, maka sintaks perintahnya adalah:

> int(f(x),x);

Contoh 4:

Tentukan integral berikut

1.               

2.               

3.               

Penyelesaian:

1.    > f := x -> (x+2)^2;

> int(f(x),x);

Hasilnya akan diperoleh

2.    > int(sin(t)-cos(t),t);

Hasil integralnya adalah

3.    > int(x^(2/3)+1/x,x);

Hasilnya adalah

B.       Integral Tentu

Secara matematis, integral tentu adalah sebagai berikut:

Misalkan f fungsi kontinu yang didefinisikan untuk .  Selanjutnya interval [a,b] dibagi menjadi n subinterval yang sama dengan lebar . Dimisalkan x₀ (=a), x₁, x₂, …, x_n(=b) adalah titik-titik ujung subinterval tersebut dan dipilih titik-titik x₁*, x₂*, …, x_n* pada setiap subinterval sehingga x_i* terletak pada setiap selang [x_I-1, x_i], maka definisi integral tentu f dari a sampai b adalah

Jumlahan

yang muncul pada definisi integral tentu di atas dinamakan jumlahan Riemann. Pada subbab ini akan dibahas bagaimana menentukan integral tentu dengan menggunakan konsep jumlahan Riemann dan juga perintah khusus dalam Maple untuk menghitung integral tentu.

Jumlahan Riemann

Jumlahan Riemann ini menghitung integral tentu secara pendekatan. Nilai integral tentu f(x) dari [a,b] dihitung dengan mencari luas seluruh persegi panjang yang ada antara garis kurva dan sumbu x.

Dalam Maple telah tersedia perintah untuk memvisualisasikan jumlahan Riemann ini secara grafis dan juga menghitung nilai integral tentu tersebut. Perintah ini terdapat dalam Calculus1 Student Package. Adapun sintaks perintahnya adalah

> with(Student[Calculus1]):

> RiemannSum(f(x), x = a..b, option)

Perintah di atas digunakan untuk menghitung jumlahan Riemann suatu fungsi f(x) dengan batas kiri a dan batas kanan b menggunakan metode tertentu (jenis metode ditambahkan pada option). Adapun pada option dapat ditambahkan perintah-perintah sebagai berikut

1.   method = left, right, midpoint, upper, lower, atau random

Perintah ini digunakan untuk menentukan metode yang digunakan dalam perhitungan jumlahan Riemann. Beberapa alternatif pilihan metode yang dapat digunakan adalah:

a.    method = left, metode ini memilih  yaitu titik di paling kiri subinterval

b.    method = right, metode ini memilih  yaitu titik di paling kanan subinterval

c.    method = midpoint, metode ini memilih  yaitu titik di tengah subinterval. Metode ini adalah sebagai default dari perintah RiemannSum, sehingga apabila option method tidak disertakan, maka metode yang digunakan oleh Maple adalah midpoint.

d.   method = upper, metode ini memilih  yaitu titik yang paling besar nilai fungsinya dalam subinterval

e.    method = lower, metode ini memilih  yaitu titik yang paling kecil nilai fungsinya dalam subinterval

f.     method = random, metode ini memilih  secara random dalam subinterval

2.   output = value, plot, sum, animation

Perintah dalam option ini digunakan untuk menentukan output yang ingin ditampilkan setelah perintah RiemannSum ini dijalakan. Berikut ini beberapa jenis output yang dapat dipilih

a.    output = value, digunakan untuk menampilkan output dalam bentuk hasil pendekatan jumlahan Riemann (default)

b.   output = plot, digunakan untuk menampilkan output dalam bentuk grafik yang memvisualisasikan jumlahan Riemann.

c.    output = sum, digunakan untuk menampilkan output dalam bentuk formulasi jumlahan

.

d.   output = animation, digunakan untuk menampilkan output dalam bentuk animasi.

3.   partition = n

Option ini digunakan untuk menentukan jumlah partisi/subinterval dalam interval [a,b]. Secara default jumlah partisi adalah 10. Sedangkan apabila ingin mempartisi interval menjadi 20 subinterval, maka tambahkan perintah partition=20 pada option ini.

4.   Title = string

Judul/title dari visualisasi dapat diatur menggunakan option ini.

Contoh 1:

Tentukan integral tentu dari

dengan jumlahan Riemann menggunakan 20 partisi/subinterval. Metode yang digunakan adalah titik kiri (left). Tampilkan pula visualisasi secara grafis jumlahan Riemann ini.

Penyelesaian:

> f := x -> sin(x);

> with(Student[Calculus1]):

> RiemannSum(f(x), x = 0..5, partition=20, method=left, output=value);

> evalf(%);

Perintah diatas akan menghasilkan 0.8324685298. Nilai tersebut adalah nilai pendekatan dari integral tentu f(x)=sin(x) dengan batas bawah 0 dan batas atas 5 dengan 20 partisi.

Berikutnya, kita akan memvisualisasikan jumlahan Riemann tersebut.

> RiemannSum(f(x), x = 0..5, partition=20, method=left, output=plot,title=”Jumlahan Riemann f(x)=sin x”);

Selanjutnya akan diperoleh grafik seperti pada Gambar 32.

Gambar 1. Visualisasi Jumlahan Riemann untuk f(x)=sin(x) dengan 20 partisi pada [0,5]

C.       Visualisasi dengan menggunakan component

1.      Untuk integral luas

Susunanlah visualisasi seperti gambar dibawah ini.

Dimana :

a.       Pengaturan componen f(x)

Menggunakan mathematical expression dengan name = f

b.      Componen interval

c.       Menggunakan mathematical expression dengan name = a dan b

d.      Banyaknya partisi

Menggunakan mathematical expression dengan name = n

e.       Slider

use DocumentTools in Do(%n=%ns); end use;

Menggunakan slider dengan name = ns

Code action :

f.       Warna

Menggunakan combo box dengan nama list

g.      Button

use DocumentTools in with(Student[Calculus1]): Do(%Plot0=RiemannSum(%f, x = %a..%b, partition=%n, method=left, output=animation,boxoptions = [filled = [color = %list, transparency = .5]])); end use;

Menggunakan button dengan caption grafik

Code action :

2.      Untuk integral volume

Susunanlah visualisasi seperti gambar dibawah ini.

Dimana :

a.       Pengaturan componen f(x) dan g(x)

Menggunakan mathematical expression dengan name = f dan g

b.      Componen interval

c.       Menggunakan mathematical expression dengan name = a dan b

d.      Button

use DocumentTools in with(Student[Calculus1]): Do(%Plot0=VolumeOfRevolution(%f,%g, x = %a .. %b, output = plot, showregion = true)); end use;

Menggunakan button dengan caption grafik

Code action :

Latihan.

Lengkapi output di atas dengan luas dan volumenya