DIFFERENSIAL

MODUL V

DIFFERENSIAL

Mahasiswa dapat menjalankan fungsi-fungsi Maple untuk menyelesaikan masalah differensial.

Tujuan Khusus Praktikum

 

A.      Turunan fungsi dengan maple

Jika setiap kali mencari turunan suatu fungsi menggunakan konsep evaluasi limit, maka hal ini dapat menjadi terlalu lama. Untuk mempercepat perhitungan limit, Maple menyediakan function khusus yang dapat digunakan untuk mencari turunan suatu fungsi dengan cepat.

1.      Fungsi diff

Penggunaan fungsi diff menjadi salah satu alternatif dalam mencari turunan suatu fungsi, dimana sintaks perintah diff adalah:

> diff(fungsi, x)

Function di atas digunakan untuk mencari turunan fungsi terhadap x.

Contoh 5.1:

Dengan menggunakan perintah diff, tentukan turunan dari fungsi f(x) = 2x²-3x+9.

Penyelesaian:

> f := (x) -> 2*x^2-3*x+9;

> diff(f(x),x);

Dari perhitungan akan diperoleh 4x-3.

Contoh 5.2 :

Tentukan turunan dari fungsi f(t) = .

Penyelesaian:

> f := (t) -> sin(2*t)/(t-1);

> diff(f(t),t);

Maple akan memberikan hasil .

Selain sintak di atas, dimana diff berfungsi untuk mencari turunan pertama suatu fungsi. Diff juga dapat digunakan untuk mencari turunan yang lain, adapun beberapa sintak yang berlaku pada fungsi diff sebagai berikut :

Sintaks	Keterangan
diff(f(x),x)	Turunan pertama dengan variable x
diff(f(x),x$2)	Turunan kedua dengan variable x
diff(f(x),x$n)	Turunan ke-n dengan variable x
Diff(f(x),x)	Turunan parsial dengan variable x
diff(f(x,y),x,y)	Turunan pertama dengan variable x dan y

2.      Fungsi prime

Selain pengguanaan diff, sintaks dalam maple untuk mencari derivative dapat digunakan dengan menambahkan sintak prime. Penulisan sintaks dalam maple sebagai berikut :

> f:=x ->  didefinisikan fungsinya terlebih dahulu

> f’(x)

Contoh 5.3 :

Tentukan turunan pertama dari

Penyelesaian :

>

> f’(x)

Maka hasilnya adalah

Penggunaan untuk turunan yang lain dapat ditulis sintaknya secara langsung dengan menambahkan ( ‘ ) setelah fungsi.

B.       Turunan Implisit

Bagaimana dengan turunan fungsi-fungsi berbentuk implisit? Bagaimana cara mendapatkan turunannya? Secara teoritis, turunannya dapat dicari dengan aturan berantai. Namun, untuk memudahkan pengguna, Maple juga menyediakan function untuk mencari turunan fungsi implisit. Apabila diketahui fungsi implisit f dalam bentuk eksplisit x dan y, maka perintah untuk mencari dy/dx dengan Maple adalah

> implicitdiff(f, y, x)

Sedangkan kebalikannya, apabila akan dicari turunan dx/dy, maka perintahnya

> implicitdiff(f, x, y);

Contoh:

Tentukan dy/dx dari x²+y² = 9. Tentukan pula dx/dy dari fungsi implisit tersebut!

Penyelesaian:

Terlebih dahulu didefinisikan fungsi implisit f

> f := x^2+y^2=9;

selanjutnya dicari dy/dx dengan perintah

> implicitdiff(f,y,x);

dan diperoleh hasil .

Fungsi implisit tidak harus didefinisikan terlebih dahulu seperti halnya contoh di atas. Fungsi implisit yang akan dicari turunannya langsung dapat diletakkan dalam implicitdiff.

> implicitdiff(x^2+y^2=9,y,x);

Selanjutnya untuk mencari dx/dy, perintahnya

> implicitdiff(f,x,y);

atau

> implicitdiff(x^2+y^2=9,x,y);

Kedua perintah di atas akan sama-sama menghasilkan

Contoh:

Tentukan dy/dx dan dx/dy dari x²+y²=6xy.

Penyelesaian:

> f := x^2+y^2=6*x*y;

> implicitdiff(f, y, x);

Dari perintah di atas diperoleh hasil

> implicitdiff(f, x, y);

Sedangkan untuk dx/dy diperoleh hasil .

C.      Turunan Parsial

Misalkan diketahui suatu fungsi dengan 2 variabel yaitu f(x,y), turunan parsialnya adalah f_x (turunan parsial terhadap x) dan f_y (turunan parsial terhadap y) didefinisikan oleh

Dari definisi di atas dapat dilihat bahwa apabila akan ditentukan f_x, y dipandang tetap/konstan. Begitu pula sebaliknya, apabila akan ditentukan f_y, x dipandang sebagai suatu konstanta. Hal ini berlaku pula untuk fungsi-fungsi dengan 3 variabel atau lebih.

Dengan Maple kita dapat mencari turunan parsial secara langsung yang caranya sama dengan mencari turunan fungsi satu variabel.

Contoh:

Diketahui fungsi multivariabel sebagai berikut

 dan

Tentukan f_x, f_y, g_x, g_y, g_z!

Penyelesaian:

> f := (x,y) -> x^3+2*x^2*y^3-y^3;

> g := (x,y,z) -> sin(x*y)/z+x^2*y*z^3;

Dua perintah berikut digunakan untuk mencari f_x dan f_y

> diff(f(x,y),x);

> diff(f(x,y),y);

Kedua perintah di atas menghasilkan

 dan

Sedangkan tiga perintah berturut-turut berikut ini digunakan untuk mencari g_x, g_y, dan g_z.

> diff(g(x,y,z),x);

> diff(g(x,y,z),y);

> diff(g(x,y,z),z);

dan akan diperoleh

Dalam turunan parsial juga terdapat turunan order tinggi. Misalkan suatu fungsi multivariabel f diturunkan dua kali terhadap x, dinotasikan dengan f_xx. Sedangkan apabila diberikan notasi f_xy, maka bermakna bahwa f diturunkan parsial terhadap x kemudian terhadap y.

Berikut ini contoh mencari turunan parsial order tinggi.

Contoh:

Diketahui fungsi

Tentukan f_xx, f_xyx, f_yyy, f_xxy, f_xyz.Setelah itu tentukan f_xyz(2,1,4).

Penyelesaian:

> f := (x,y,z) -> x*y^4*z^5-4*x^2*y^3+z^5;

Perintah berikut untuk mencari f_xx

> diff(f(x,y,z),x$2);

Sedangkan di bawah ini untuk mencari f_xyx

> diff(f(x,y,z),x,y,x);

Tiga perintah berikut berturut-turut untuk mencari f_yyy, f_xxy dan f_xyz.

> diff(f(x,y,z),y$3);

> diff(f(x,y,z),x$2,y);

> diff(f(x,y,z),x,y,z);

Untuk mencari f_xyz(2,1,4) dapat dilakukan melalui cara berikut ini.

> der := (x,y,z) -> diff(f(x,y,z),x,y,z);

> eval(der(x,y,z),{x=2,y=1,z=4});

Perintah eval() di atas digunakan untuk mengevaluasi fungsi (hasil turunan) dengan nilai variabel yang telah ditentukan.

Latihan

1.    Carilah titik pada kurva y = x³ – x² – x + 1 yang garis singgungnya bergradien 200! Tunjukkan grafiknya!

2.    Carilah semua titik dari fungsi  yang garis singgungnya mendatar! Tunjukkan grafiknya!

3.  Tunjukkan bahwa kurva y = 6x³ + 5x – 3 tidak mempunyai garis singgung yang gradiennya 4. Kenapa?

4.    Buatlah dengan menggunakan komponen untuk menentukan turunan ke 1 sampai dengan ke 4 berserta grafik fungsi yang di inputkan dalam 1 koordinat.