TRANSFORMASI BANGUN DATAR

BAB XI

TRANSFORMASI BANGUN DATAR

Transformasi telah dikenal sejak lama, dimulai dari zaman Babilonia, Yunani, para ahli Aljabar Muslim paad abad ke-9 sampai ke-15, dan dilanjutkan matematikawan Eropa abad ke-18 sampai dua dekade pertama abad ke-19. keberaturan dan pengulangan pola memberi dorongan untuk mempelajari bagaimana dan apa yang tak berubah oleh suatu transformasi.

Transformasi geometri adalah suatu fungsi yang mengaitkan antar setiap titik di bidang dengan sustu aturan tertentu. Pengaitan ini dapat dipandang secara aljabar atau geometri. Sebagai ilustrasi, jika titik (x,y) dicerminkan terhadap sumbu x, maka diperoleh titik(x,-y). Secara aljabar transformasi ini ditulis T(x,y) = (x,-y), atau dalam bentuk perkalian matrik.

Dalam kaitan ini suatu titik di bidang dapat dipandang sebagai vektor kolom atau matrik berukuran 2 x 1. masalah ini dapat diperluas untuk menentuka peta dari suatu konfigurasi geometri berbentuk daerah tertentu oleh suatu transformasi. Transformasi geometri yang akan dipelajari adalah translasi (pergeseran), rotasi (perputaran), refleksi (pencerminan) dan dilatasi (perbesaran).

Transformasi ini dipandang secara geometri sebagai titik yang dipetakan atau secara aljabar dengan mempelajari aturan transformasinya.

A. Translasi

Gambar 11.1 eskalator

Pernahkah anda melihat escalator (tangga berjalan) di shopping center (pusat pertokoan)? Tangga berjalan tersebut berguna untuk memindahkan orang dari lantai yang satu ke lantai yang lain. Perpindahan orang tersebut merupakan contoh dari translasi atau geseran. Dapatkah anda mencari keadaan di sekitar anda yang menggambarkan suatu translasi atau geseran?

Gambar 11.2 akrobat hal 33

Pada gambar di atas DABC dipindahkan dari kedudukan awal ke posisi DA’B’C’. Hal ini dikatakan bahwa DABC ditanslasikan ke DA’B’C’. Untuk melakukan suatu translasi diperlukan arah dan besar translasi. Pada gambar di atas DABC ditranslasikan sejauh 5 pada arah positif sumbu x dan sejauh 2 pada arah positif sumbu y. Jadi, pada suatu translasi tidak ada perubahan ukuran bangun.

Contoh 11.1:

Gunakan skala 1 cm untuk menyatakan satuan pada sumbu x dan sumbu y. Gambarlah suatu segiempat dengan titik sudut A(1, 1), B(5, 2), C(4, 4), dan D(2,4). Tentukan bayangan segiempat ABCD pada translasi sejauh 5 satuan dalam arah positif sumbu x dan 2 satuan dalam arah negatif sumbu y.

Penyelesaian:

Gambar contoh 11.1 akrobat hal 33

Gambar di atas menunjukkan segiempat ABCD dan bayangannya segiempat A’B’C’D’ yang ditanslasikan sejauh 5 satuan pada arah positif sumbu x dan sejauh 2 pada arah sumbu y negatif. Koordinat titik-titik sudut segiempat A’B’C’D’ adalah A’(-1, 6), B’(10, 0), C’(9, 2), dan D’(7, 2).

Latihan 11.1

1. Titik sudut DABC adalah A(1, 3), B(7, 5), dan C(2, 0). Tentukan koordinat titik sudut bayangan DABC oleh translasi sejauh 3 satuan pada arah positif sumbu x dan sejauh 2 pada arah negatif sumbu y.

2. Gambar berikut menunjukkan suatu translasi dari segi-4 ABCD.

Gambar latihan 11.1 acro hal40

a. Tentukan koordinat titik-titik sudut segi-4 ABCD.

b. Segi-4 A’B’C’D’ adalah bayangan segi-4 ABCD oleh suatu translasi. Tentukan translasi tersebut.

c. Tentukan koordinat titik-titik sudut segi-4 A’B’C’D’.

B. Refleksi

Gambar 11.3 benda yang direfleksikan oleh air

Gambar di atas merupakan contoh refleksi yang sering anda jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Sebuah benda yang direfleksikan oleh air. Gambar bangunan di bawah permukaan air merupakan bayangan dari bangunan di daratan. Refleksi merupakan salah satu jenis transformasi. Perhatikan keadaan di sekeliling anda. Apakah anda dapat menemukan refleksi yang lain? Untuk melakukan suatu refleksi diperlukan sumbu refleksi atau sumbu simetri atau garis refleksi atau garis cermin.

Pada gambar di samping, DABC dengan titik sudut A(5, 1), B(6,5 , 2), dan C(3, 3) direfleksikan terhadap garis x = 3. Bayangannya adalah DA’B’C’ dengan A’(1, 1), B’(-0,5 , 2), dan C(3, 3).

Perhatikan bahwa pada suatu refleksi ukuran bangun tidak berubah dan titik pada bangun yang terletak pada sumbu refleksi tidak berpindah letaknya. Titik C pada gambar di atas berimpit dengan titik C’. Jadi titik C dan bayangannya merupakan titik yang sama. Titik C disebut titik invariant.

Jika diketahui suatu bangun dan hasil refleksinya, maka anda dapat menentukan sumbu refleksinya.

Gambar 11.4 acro hal 35

Gambar di atas menunjukkan segmen garis AB dan bayangannya A’B’ dengan A, B, A’, B’ berturut-turut adalah titik (1, 3), (2, 6), (3, 1), dan (6, 2). Untuk menentukan sumbu refleksinya ditempuh langkah berikut:

Hubungkan A dengan A’ atau B dengan B’ untuk membentuk garis sumbu l, dari segmen garis AA’ atau BB’. Garis l adalah sumbu refleksi.

Contoh 11.2:

Koordinat titik A dan B berturut-turut adalah (-2, 2) dan (1, 4). Garis yang menghubungkan A dan B direfleksikan terhadap sumbu x untuk mendapatkan A’ dan B’. Kemudian A’B’ direfleksikan terhadap garis x = 3 untuk memperoleh A” dan B”. Tentukan koordinat A’, B’, A’, dan B’.

Penyelesaian:

Gambar contoh 11.2 acro hal 35

Dari gambar di samping, anda dapat menentukan koordinat A’, B’, A’, B’, berturut-turut adalah (-2, -2), (1, -4), (8, -2) dan (5, -4).

Latihan 11.2

1. A(3, 1), B(6, 3), dan C(4, 8) adalah titik-titik sudut DABC. Gambarlah DABC pada bidang Cartesius. Cerminkan DABC terhadap sumbu x dan tentukan bayangannya.
2. Suatu garis AB dengan titik A (2, 3) dan B (3, 1). Jika A’B’ adalah hasil pencerminan garis AB pada sumbu x dan A“B“ adalah hasil pencerminan terhadap sumbu y, tentukan kordinat A’, B’, A“ dan B“.

C. Rotasi

Beberapa benda di dunia keberadaan atau pergerakannya bergantung rotasi (putaran). Jarum jam, komedi putar, untuk membuka dan menutup pintu, putaran roda mobil atau sepeda motor merupakan contoh-contoh rotasi. Kejadian alam ada pula yang gerakannya berdasarkan rotasi, missal angin puting beliung. Dapatkah anda mencari benda di sekeliling anda yang gerakannya berdasarkan rotasi? Untuk melakukan rotasi diperlukan adanya pusat rotasi dan sudut putar. Perhatikan gambar-gambar berikut.

Gambar 11.4 acro hal 36

Gambar di samping menunjukkan suatu rotasi DABC dengan pusat rotasi titik O dan sudut rotasi berlawanan dengan arah jarum jam sebesar a. Bayangan DABC oleh rotasi tersebut adalah DA’B’C’.

Gambar 11.5 acro hal 36

Gambar berikut menunjukkan suatu rotasi bendera FGHI dengan pusat rotasi titik O sudut rotasi searah dengan arah jarum jam sebesar ß. Bayangan FGHI oleh rotasi tersebut adalah bendera F’G’H’I’.

Contoh 3:

ABC dengan titik sudut A, B, C yang koordinatnya berturut-turut adalah (2, 2), (4, 5), dan C(4, 2). ABC dirotasikan sejauh 90⁰ dengan arah berlawanan dengan arah jarum jam dan pusat rotasi titik O, bayangannya adalah DA₁B₁C₁. DABC juga dirotasikan sejauh 90⁰ dengan arah searah dengan arah jarum jam dan pusat rotasi titik O, bayangannya adalah DA₂B₂C₂. Tentukan koordinat A₁, B₁, C₁, A ₂, B₂, dan C₂.

Penyelesaian:

Dari gambar di samping

nda dapat menentukan

koordinat A1, B1, C1, A2, B2, dan

C2 yaitu:

A1 (-2, 2), B1 (-5, 4), C1 (-2, 4),

A2 (2, -2), B2 (-4, 5), dan

C2 (-4, 2).

Latihan 11.3

1. Salin dan rotasikan setiap bangun berikut.

Gambar latihan 11.3 acro hal 40

a. DABC dengan pusat rotasi O₁ sudut rotasi 180⁰

b. DPQR dengan pusat rotasi O₂ sudut rotasi 90 0 berlawanan dengan arah jarum jam.

c. Segi-4 OMNP dengan sudut rotasi 90⁰ dan pusat rotasi O.

d. Bendera WXYZ dengan sudut rotasi 90⁰dan pusat rotasi O₃.

2. Gambarlah sebuah segi-6 beraturan ABCDEF yang lingkaran luarnya berpusat di O. Tentukan bayangan DAOB jika diputar/dirotasi:

a. sejauh 60 ⁰ berlawanan dengan arah jarum jam dan pusat rotasi O.

b. sejauh 240 ⁰ berlawanan dengan arah jarum jam dan pusat rotasi O.

c. sejauh 60 ⁰ searah dengan arah jarum jam dan pusat rotasi O.

d. sejauh 60 ⁰ berlawanan dengan arah jarum jam dan pusat rotasi F.

e. sejauh 60 ⁰ searah dengan arah jarum jam dan pusat rotasi C.

f. sejauh 180 ⁰ dan pusat rotasi O.

D. Dilatasi

Gambar 11.7 microscop

Gambar di atas menunjukkan alat pembesar yang merupakan alat penting di sebuah laboratorium. Alat ini digunakan untuk memperbesar obyek yang diamati. Untuk melakukan suatu dilatasi diperlukan pusat dilatasi dan faktor dilatasi.

Gambar 11.7 acro hal 38

Gambar di atas menunjukkan suatu dilatasi dengan pusat dilatasi O, yang berada di luar bangun yang didilatasikan, dan faktor dilatasi k > 0. Pada dilatasi ini bangun yang didilatasikan adalah DABC dan hasil dilatasi DA ’ B ’ C ’ . Berikut adalah dilatasi dengan pusat dilatasi E, yang berada dalam bangun yang didilatasikan, dan faktor dilatasi k > 0.

Contoh 4:

Pada dilatasi ini bangun yang didilatasikan adalah segi-4 ABCD dengan pusat dilatasi E, factor dilatasi 2, dan bayangan atau hasil dilatasi segi-4 A ’ B ’ C ’ D ’ . Hal ini dapat juga dikatakan bahwa segi-4 A ’ B ’ C ’ D ’ didilatasikan dengan pusat E, faktor dilatasi , menghasilkan segi-4 ABCD.

Gambar contoh 4 acro hal 28

Berikut disajikan suatu dilatasi dengan pusat dilatasi E, yang berada di luar bangun yang didilatasikan, dan faktor dilatasi k <>

Contoh 5:

Suatu DABC didilatasikan dengan pusat E dan faktor dilatasi -2 menghasilkan DA ’ B ’ C ’ . Hal ini dapat juga dikatakan DA ’ B ’ C ’ didilatasikan dengan pusat E dan faktor dilatasi - menghasilkan DABC .

Gambar contoh 5 acro 39

Dari Contoh 4 dan 5 anda dapat mengetahui bahwa:

- suatu dilatasi dapat memperbesar atau memperkecil bangun,

- bangun yang didilatasikan sebangun dengan bayangannya.

Latihan 11.4

1. Salinlah gambar berikut, kemudian dilatasikan DLMN dengan E sebagai

pusat dilatasi dan faktor dilatasi 2.

Gambar latihan 11.4.1 ACRO 42

2. Pada gambar di berikut ABCD adalah suatu persegipanjang dengan P dan Q berturut-turut adalah titik tengah AB dan BC.

Gamba latihan 11.4.2 HAL 46

1. DAPR didilatasikan dengan pusat A dan faktor dilatasi 2, tentukan

bayangannya.

2. ABCD didilatasikan dengan pusat B dan faktor dilatasi , tentukan

bayangannya.

RANGKUMAN

• Untuk melakukan suatu translasi diperlukan arah dan besar translasi.
• Untuk melakukan suatu refleksi diperlukan sumbu refleksi atau sumbu simetri atau garis refleksi atau garis cermin.
• Untuk melakukan suatu rotasi diperlukan pusat rotasi dan arah rotasi.
• Untuk melakukan suatu dilatasi diperlukan pusat dilatasi dan faktor dilatasi.

Uji Kompetensi

I. Kerjakan soal-soal berikut dengan benar!

1. Tentukan koordinat bayangan setiap titik berikut, jika direfleksikan terhadap sumbu x. A(3, 4), B(2, -3), C(-2, 5), D(-3, -6).
1. A(3, -4), B(2, 3), C(-2, -5) dan D(3, 6)
2. A(3, -4), B(2, 3), C(-2, -5) dan D(-3,- 6)
3. A(3, 4), B(2, 3), C(-2, -5) dan D(-3, -6)
4. A(3, 4), B(2, 3), C(-2, -5) dan D(3, 6)
5. A(3, 4), B(-2, -3), C(-2, -5) dan D(3, 6)

2. ABCDEF adalah suatu segienam beraturan yang berpusat di O. Tentukan bayangan DAOB jika direfleksikan terhadap garis OB, CF, dan OA.

Gambar uji kompetensi 11.1.1 hal 45

1. DCOB, DFOD, DOAF
2. DCOB, DFOD, DOBC
3. DCOB, DEOD, DOAF
4. DCOA, DEOD, DOAF
5. DCOA, DFOD, DOAF

3. Suatu segiempat bertitik sudut (0, 0), (2, 1), (3, 2), dan (3, 5). Tentukan bayangan segiempat tersebut terhadap geseran sejauh 5 pada arah positif sumbu x dan sejauh 7 pada arah negatif sumbu y.
1. (5, -7), (7, -6), (8, 5), (8, -2)
2. (5, -7), (7, -6), (8, 5), (8, -2)
3. (5, -7), (7, -6), (8, 5), (8, 2)
4. (5, -7), (7, -6), (8, -5), (8, 2)
5. (5, -7), (7, -6), (8, -5), (8, -2)

4. Tentukan bayangan dari jajargenjang ABCD dengan A(1, 1), B(4, 2), C(5, 4) dan D(2, 3) oleh rotasi 90⁰.
1. A(-1, 1), B(-2,4), C(-4, 5) dan D(-3, 2)
2. A(-1, 1), B(-2,4), C(-4, 5) dan D(-3, 2)
3. A(-1, 1), B(2,4), C(-4, 5) dan D(-3, -2)
4. A(-1, 1), B(2,4), C(-4, 5) dan D(-3, -2)
5. A(-1, 1), B(-2,4), C(-4, 5) dan D(-3, 2)

5. Misalkan A`B`C` cengan A`(-2,2), B`(4,2) dan C`(-2,6) merupakan hasil dilatasi [O,¹/₂] dari ABC. Maka koordinat titik-titik sudut ABC adalah ...
1. A(-1,1), B(2,1) dan C(-1,3)
2. A(-4,4), B(8,4) dan C(-4,12)
3. A(-4,2), B(8,2) dan C(-4,6)
4. A(-2,4), B(4,4) dan C(-2,12)
5. A(-2,4), B(4,4) dan C(12,-12)

6. Diketahui OAB dengan A(0,5) dan B(10,0). Koordinat bayangannya jika di rotasi -90⁰ terhadap O adalah ...
1. O(0,0), A`(0,-10) dan B`(-5,0)
2. O(0,0), A`(-5,0) dan B`(10,0)
3. O(0,0), A`(0,-5) dan B`(10,0)s
4. O(0,0), A`(0,5) dan B`(-10,0)
5. O(0,0), A`(0,5) dan B`(0,10)

7. Bayangan titik B(25,-30) yang dicerminkan terhadap garis y=x adalah ...
1. B`(-25,30)
2. B`(25,30)
3. B`(-30,-25)
4. B`(-30,25)
5. B`(-40,25)

8. Koordinat titik A dan B berturut-turut adalah (-2, 2) dan (1, 4). Garis yang menghubungkan A dan B direfleksikan terhadap sumbu x untuk mendapatkan A’ dan B’. Kemudian A’B’ direfleksikan terhadap garis x = 3 untuk memperoleh A” dan B”. Tentukan koordinat A’, B’, A’, dan B’.
1. (2, 2), (1, -4), (8, -2) dan (5, -4).
2. (-2, -2), (-1, 4), (8, -2) dan (5, -4).
3. (-2, -2), (1, -4), (8, -2) dan (5, -4).
4. (-2, -2), (1, -4), (8, 2) dan (-5, 4).
5. (2, 2), (1, -4), (-8, -2) dan (5, -4).

9. gambar uji kompetensi 11.1.2 print

Translasi yang ditunjukan oleh gambar di atas adalah….

10. .Diketahui titik A(-7,6). Titik tersebut dicerminkan terhadap garis x = 8. Kemudian hasilnya dicerminkan lagi terhadap garis y = 4. Maka koordinat bayangan akhir titik A adalah ...
1. .(23,2)
2. .(-7,2)
3. .(23,6)
4. .(15,10)
5. (2, -7)

II. Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar!

1. Segi-4 ABCD dengan koordinat titik-titik sudut A, B, C, dan D berturut-turut (1, 1), (2, 6), (6, 4), dan (5, 2). Segi-4 ABCD ditranslasikan dengan translasi sejauh 4 satuan pada arah positif sumbu x dan sejauh 3 pada arah negatif sumbu y. Oleh translasi ini bayangan segi-4 ABCD adalah segi-4 A’B’C’D’. Setelah itu bayangannya, segi-4 A’B’C’D’, ditranslasikan dengan translasi sejauh 2 satuan pada arah sumbu x dan sejauh 6 pada arah positif sumbu y. Sebut bayangannya sebagai segi-4 A”B”C”D”. Tentukan koordinat A’, B’, C’, D’, A”, B”, C”, dan D”.

2. A(3, 1), B(6, 3), dan C(4, 8) adalah titik-titik sudut DABC. Gambarlah DABC pada bidang Cartesius. Cerminkan DABC terhadap sumbu x dan tentukan bayangannya.

3. Salinlah gambar berikut, kemudian dilatasikan DLMN dengan E sebagai pusat dilatasi dan faktor dilatasi .

Gambar uji kompetensi 11.1.3 acro hal 42

4. ABCDEFGH adalah segidelapan beraturan dengan pusat O. Tentukan bayangan ? AOB jika dirotasikan dengan pusat O dan sudut ratasi: 180 0 , 90 0 berlawanan arah dengan arah jarum jam, 90 0 searah dengan arah jarum jam, dan 315 0 berlawanan dengan arah jarum jam.

Gambar uji kompetensi 11.1.4 acro hal 45

5. Persegi panjang ABCD dengan titik sudut A ( 2, 3 ), B ( 6, 3), dan C ( 6,5).
1. Tentukan koordinat titik sudut D.

2. Jika persegi panjang ABCD dicerminkan terhadap garis y = x, tentukan bayangannya.
3. Jika persegi panjang ABCD digeser dengan geseran ( -2, 1 ), tentukan bayangannya.
4. Jika persegi panjang ABCD didilatasikan dengan pusat A dan faktor dilatasi –1, tentukan bayangannya.
5. Jika persegi panjang ABCD di rotasikan dengan pusat O sejauh 180 0 , tentukan bayangannya.